2X岁，是学生です

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最长上升子序列(LIS)

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动态规划时间复杂度计算

朴素版 $O(n^2)$

$f[i]$表示以第 $i$ 个字符为结尾的最长上升子序列长度。

转移方程：

代码：

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#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N], val[N];

int main()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		scanf("%d", &val[i]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		f[i] = 1;
		for (int j = 1; j < i; ++j)
			if (val[i] > val[j])
				f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
	}
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		res = max(res, f[i]);
	printf("%d", res);
	return 0;
}

优化版 $O(nlogn)$

朴素版性能较差，仅适用于数据范围在 $1000$ 左右。

优化版并不是 $DP$，而是一种贪心算法。

数据范围

$ 1 ≤ N ≤ 100000 $,

$ −10^9 ≤ 数列中的数 ≤ 10^9 $

思路：

一个数列中的上升子序列长度在 $1, 2, …, L_{max}$ 内，任意一种长度的序列都可以在该集合中找到。

因此，可以利用以数组存储各长度子序列当前最后一个数的值；

  1. 在数列中遍历到一个值时，使用二分法，查找各长度的子序列中最后一个值小于当前值的最大值;

  2. 比较找到的子序列长度 $l_{find}$ 加 $1$ 后是否大于当前最长的上升子序列长度;

  3. 更新长度为 $l_{find}+1$ 的子序列的最后一个值为当前值。

代码：

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;
int vals[N], q[N];//q用于存储每种长度的子序列的最后一个值的大小

int main()
{
  int n, len = 0;
  scanf("%d", &n);
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
    scanf("%d", &vals[i]);
  q[0] = -2e9;//根据数据范围选定，同时除了空序列，任何序列的长度都大于0
  for(int i = 1; i <= n; ++i)
  {
    int l = 0, r = len;
    while(l < r)
    {
      int mid = l + r + 1 >> 1;
      if(q[mid] < vals[i]) l = mid;
      else r = mid - 1;
    }
    len = max(len, r + 1);
    q[r + 1] = vals[i];
  }
  printf("%d", len);
  return 0;
}