最小生成树

本文时间复杂度中: $n$ 为节点数， $m$ 为边数。

朴素版Prim $O(n^2)$

思路：

类似于 $Dijkstra$，从任意一点开始，先更新该点的dist，再以该点为中继，更新其余点到已确定距离的集合的距离；之后的循环都是找到离当前已经确定了距离的集合最近的点，并以重复下一次循环。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510, M = 1e5 + 10;
int myg[N][N], dist[N];
int n, m;
bool st[N];

int prim()
{
	int res = 0;//记录最小生成树的路径长度
	memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));
	memset(st, 0, sizeof(st));
	for (int i = 0; i < n; ++i)//从0开始比较方便，1开始也不是不可以,注意要循环n次，相当于每个节点一条边，初始点边权为0
	{
		int t = -1;
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//类似dijkstra
				t = j;
		if (i && dist[t] == 0x3f3f3f3f)
			return 0x3f3f3f3f;
		if (i)//i为0时为第一个点，到集合的距离为零，因此不用运算
			res += dist[t];
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			dist[j] = min(dist[j], myg[t][j]);//更新区别于dijkstra，更新的是到集合的距离，而且可以看出被更新的只会是与t相连的
		st[t] = true;
	}
	return res;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	memset(myg, 0x3f, sizeof(myg));
	while (m--)
	{
		int u, v, w;
		scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
		myg[u][v] = myg[v][u] = min(myg[u][v], w);
	}
	int res = prim();
	if (res == 0x3f3f3f3f)
		puts("impossible");
	else
		printf("%d", res);
	return 0;
}

Kruskal $O(mlogm)$

思路：

使用了并查集。首先排序，按边权从小到大排序，再用并查集，即如果不属于同一集合，则加入集合。而且该算法没有必要用临界表或邻接矩阵来存，直接用结构体存起终点和权值就可以。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n, m;
const int N = 1e5 + 10,M = 2e5 + 10;
int p[N];
struct edge
{
    int l, r, w;
    bool operator < (const edge &W)
    {
        return w < W.w;
    }
}e[M];

int find(int x)
{
    if(x != p[x])
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int u, v, w;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
        e[i] = {u, v, w};
    }
    sort(e + 1, e + m + 1);
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        p[i] = i;
    int res = 0, cnt = 0, l, r;
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
    {
        l = e[i].l, r = e[i].r, w = e[i].w;
        l = find(l), r = find(r);
        if(l != r)
            res += w, p[l] = r, ++cnt;
    }
    if(cnt < n - 1)
        puts("impossible");
    else
        printf("%d", res);
    return 0;
}